这是一个根据您的 IB 数学拓展论文 (EE) 选题：“微积分到加密：椭圆曲线几何加法规则的推导及其可视化验证”直接生成的完整提案。您可以将此作为正式提交给导师的基础文件。
IB 数学拓展论文 (EE) 提案
基本信息
项目 内容
学生姓名 [您的姓名]
学校/机构 [您的学校]
EE 学科领域 数学 (Mathematics)
论文题目 从微积分到加密：椭圆曲线几何加法规则的推导及其可视化验证 核心研究问题 (Research Question, RQ)
微积分如何推导出椭圆曲线密码学的几何加法规则，并如何通过计算机模拟验证其从连续域到离散域的过渡？
- 选题动机与个人参与 (Motivation and Engagement)
| 维度 | 描述 |
|—|—|
| 个人兴趣 | 我对纯数学理论如何为现代科技奠定基础这一理念深感着迷。椭圆曲线密码学 (ECC) 作为一种高效的加密技术，其核心运算竟然源于简单的几何操作（点加和倍点）。我希望通过这项研究，亲自揭示这一几何直觉背后的严谨数学推导过程。 |
| 学术价值 | 本研究横跨微积分（隐函数求导）、代数几何（椭圆曲线方程）、群论和计算机科学（编程可视化）。它旨在展示如何应用微积分的工具来解决高阶代数问题，并通过计算机模型验证理论的正确性，从而弥合纯数学和应用技术之间的鸿沟。 |
| 核心挑战 | 核心挑战在于严格执行隐函数求导和复杂的联立三次方程求解来推导出点加和倍点的坐标代数公式。我的目标是原创性地完成这些推导，并编写代码，以视觉方式确认其几何和代数正确性。 |- 研究方法与方法论 (Methodology)
本研究将采用理论推导与计算验证相结合的定性研究方法。
4.1 理论推导 (Theoretical Derivation)
| 步骤 | 方法与工具 | 预期产出 |
|—|—|—|
| 几何基础 | 阐述实数域上的椭圆曲线方程 \boldsymbol{y^2 = x^3 + ax + b} 和群论的四大特性（封闭性、结合律、单位元、逆元）。 | 对 ECC 规则建立的理论框架。 |
| 微积分应用 | 使用隐函数求导方法，推导出椭圆曲线上任意一点的切线斜率公式 \boldsymbol{m = \frac{3x^2 + a}{2y}}。 | 推导过程中的关键中间结果。 |
| 代数推导 | 核心工作： 利用联立方程和韦达定理，代数推导出点加 P+Q 和倍点 2P 最终的坐标公式。 | 完整的、可执行的代数坐标公式（作为论文的个人贡献核心）。 |
4.2 计算机验证 (Computational Verification)
| 步骤 | 方法与工具 | 预期产出 |
|—|—|—|
| 编程实现 | 使用 Python 3.x 编程语言，结合 Matplotlib 库进行可视化。 | 包含曲线绘制、直线求解和坐标计算的完整代码。 |
| 几何验证 | 绘制高分辨率图表：
• 点加可视化：展示点 P, Q，连线 PQ，第三个交点 R，以及最终结果点 \boldsymbol{P+Q} 的几何关系。
• 倍点可视化：展示点 P，点 P 处的切线，交点 R，以及最终结果点 \boldsymbol{2P} 的几何关系。 | 图表将直观确认几何操作与代数推导的一致性。 |
4.3 理论升华与过渡 (Transition to Cryptography)
| 步骤 | 方法与工具 | 预期产出 |
|—|—|—|
| 从连续到离散 | 文献分析和图表展示。解释将曲线定义在有限域 \boldsymbol{\mathbb{F}_p} 上的必要性（安全性、计算性）。 | 一张小素数 p 下的离散点阵图，与连续曲线进行对比。 |
| 应用基础 | 强调在有限域上，代数公式保持不变，仅需将所有运算替换为模 \boldsymbol{p} 运算。 | 简要解释椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）作为加密安全性的基石。 |- 资源与时间规划 (Resources and Timeline)
| 环节 | 所需资源/工具 |
|—|—|
| 主要文献 | 专业的密码学教科书（如《应用密码学手册》）、代数几何入门书籍、IB 数学 HL 教材（微积分章节）、关于 ECC 的学术论文。 |
| 软件/工具 | 计算机、Python 3.x 环境、Matplotlib（绘图）、SymPy（用于辅助代数验证）。 |
| 伦理/安全 | 本研究为纯理论和模型研究，不涉及真实加密密钥或敏感数据。所有引用和文献必须严格遵守学术诚信原则。 |
| 阶段 | 任务描述 | 目标完成时间 |
|—|—|—|
| 阶段 1：理论推导 | 完成所有代数公式（点加、倍点、切线）的严格推导。 | [日期] |
| 阶段 2：编程实现 | 编写 Python 代码，完成椭圆曲线的绘制和 P+Q/2P 的几何验证。完成图表的制作。 | [日期] |
| 阶段 3：草稿撰写 | 撰写引言、理论推导、模拟验证章节的第一份完整草稿。 | [日期] |
| 阶段 4：定稿 | 撰写有限域过渡、结论和批判性反思，完善参考文献和附录，提交最终定稿。 | [日期] |
[学生签名] [\hspace{2cm}] [日期]
[导师签名] [\hspace{2cm}] [日期]
英文的，公式要正常显示根据这些写一份简短的proposal，请先给我解释这到底是在干什么
